Sifat Pengerjaan Hitung

Salah satu materi matematika untuk kelas V Sekolah Dasar adalah Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan bulat. Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya.

1. Sifat Komutatif (Pertukaran)
a.Sifat komutatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3
kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?
Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi.
Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif.
Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.

a + b = b + a, dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

b. Sifat komutatif pada perkalian
Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir.
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut. Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4
= 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.

Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis: a × b = b × a , dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

Soal Latihan
Gunakan sifat komutatif pada penjumlahan dan perkalian.
1. –10 + 2 = ___ + ___
2. 29 + (–11) = ___ + ___
3. –20 + 50 = ___ + ___
4. 24 + (–40) = ___ + ___
5. –15 + (–25) = ___ + ___
6. 10 × 6 = ___ + ___
7. –5 × 9 = ___ + ___
8. 15 × (–3) = ___ + ___
9. –50 × 2 = ___ + ___
10. –30 × (–3) = ___ + ___

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
a. Sifat asosiatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.

Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis: (a + b) + c = a + (b + c), dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.

Soal Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan
1. (2 + (–1)) + 3 = 2 + (–1 + 3) = 2 + 2 = 4
2. (1 + 2) + (–5) = 1 + (2 + (-5)) = 1 +(- 3) = -2
3. (–2 + 3) + 4 = –2 + (3+ 4) =-2 + 7 = 5
4. (5 + (–1)) + (–4) = 5 + (–1 + (–4)) = 5 x (-5) = -25
5. (–6 + 2) + (–10) = –6 + (2 + (-10) ) = -6 +(-8) = -14
6. (20 + (–1)) + 3 = 20 + (–1 + 3) = 20 +(-2) = 18
7. (–5 + 25) + 4 = –5 + (25 + 4) = -5 + 29 = 24
8. (30+ (–3)) + 6 = 30 + ((-3)+ 6) = 30 + 3 = 33
9. (39 + (-5)) + (–10) = 39 + (–5 + (–10)) = 39 + (-15) = 24
10. (–45 + 4) + 7 = –45 + (4 + 7) = -45 + 11 = 34

b. Sifat asosiatif pada perkalian

Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?

Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4. Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama. Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.

Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis: (a × b) × c = a × (b × c), dengan a, b, dan c bilangan bulat.

Soal Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan dan perkalian.
1. (50 + (–5)) + (–3) = 50 + (–5 + -3 ) = 50 + (-8) = 42
2. (65 + (–60) + (-3) = 65 + (–60 + (–3)) = 65 +-(63) = 2
3. (55 + (–30)) + 6 = 55 + ((-30) + 6) = 55 + (-24) = 31
4. (–39 + 32) + (-4) = -39 + (32 + (–4)) =-39 + 28 = -11
5. (45 + 27) + (–9) = 45 + (27 + (-9)) = 45 + 18 = 81
6. (2 × 6) × 4 = 2 × (6 × 4) = 2 x 24 = 48
7. (–3 × 2) × 5 = -3 × (2 × 5) =-3 x 10 = -30
8. (4 × (–5)) × 2 = 4 × ((-5) × 2) = 4 x (-10) = -40
9. (–3 × (–2)) × 6 = -3 × ((-2) × 6) = -3 x (-12) = 36
10. (5 × (–4)) × (–3) = 5 × ((-4) × (-3))= 5 x 12 = 60

3. Sifat Distributif (Penyebaran)
Perhatikan contoh berikut

a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6) Angka pengali disatukan 3 × 4 dan 3 × 6 mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 3 yang menggunakan sifat distributif.

Benarkah bahwa (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?

Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3). 3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30. Mengapa cara ini digunakan. Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6). (5 × 13) – (5 × 3) mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5. Angka pengali disatukan menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh: (5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3) Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif.

b.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2),Angka pengali dipisahkan 15 × (10 + 2) mempunyai angka pengali 15. Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.

15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
= 150 + 30
= 180

Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30 lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2 = 15 × 12. Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan. 

Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:a × (b + c) = (a × b) + (a × c), a × (b – c) = (a × b) – (a × c) dengan a, b, dan c bilangan bulat

Soal Latihan
Gunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.
1. (3 × 63) + (3 × 17) = 3 × (63 + 17) = 3 x 80 = 240
2. (–5 × 21) + (–5 × 19) = -5 × (21 + 19) =-5 x 40 =-200
3. (–4 × 46) + (–4 × 14) = -4 × (46 + 14) = -4 x 60 = -240
4. 5 × (20 + 12) = (5 × 20) + (5 × 12) = 10 + 60 = 160

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.
Perhatikan contoh berikut.
1. Menghitung 5 × 3 × 6
Cara 1:

• 5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3 (Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.)
• = (5 × 6) × 3 (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
• = 30 × 3
• = 90

Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.
Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 2:

• 5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6 (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya. Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5)
• = 3 × (5 × 6) (Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya)
• = 3 × 30
• = 90

2.Menghitung 8 × 45

Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5.
Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5 dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.
Cara 1: menggunakan sifat distributif pada penjumlahan
8 × 45 = 8 × (40 + 5)
= (8 × 40) + (8 × 5)
= 320 + 40
= 360
Cara 2: menggunakan sifat distributif pada pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)
= (8 × 50) – (8 × 5)
= 400 – 40
= 360

Soal Latihan :
Manfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif
1. 4 × 15 × 6 = 4 x (15 x 6) = 4 x 90 = 360
2. 29 × 10 × 31 = (29 x 10) x 31 = 290 x 31 = 8.990
3. 54 × 12 × 5 = 54 x (12 x 5) = 54 x 60 = 3.240
4. 125 × 9 × 16 = (125 x 9) x 16 = 1.125 x 16 = 18.000
5. 12 × 44 =(10 + 2) x 44 = (10 x 44) + (2  x 44) = 440 + 88 = 528
6. 9 × 57 = 9 x (50 + 7) = (9 x 50) + (9 x 7) = 450 + 63 = 513
7. 15 × 44 = 15 x (40 + 4) = (15 x 40) + (15 x 4) = 600 + 60 = 660
8. 11 × 38 = 11 x (30 + 8) = (11 x 30) + (11 x 8) = 330 + 88 = 418
9. 25 × 79 = 25 x (70 + 9) = (25 x 70) + (5 x 9) = 1.750 + 45 = 1.795
10. 30 × 93 = 30 x (90 + 3) = (30 x 90) + (90 x 3) = 2.700 + 270 = 2.970